Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x\in [0;2024]$ sao cho với mỗi $x$ tồn tại đúng $2$ giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn $2^{x-2y}+8\le 12{\log }_2(x-2y)$?

Đặt $t=x-2y$ ($t>0,t\in \mathbb{Z}$), bất phương trình trở thành $2^t+8-12{\log }_{2}t\le 0$. Xét hàm số $f(t)=2^t+8-12{\log }_{2}t$ trên $(0;+\infty )$ có $f^{\prime \prime }(t)=2^t(\ln 2{)}^2+\frac{12}{t^2\ln 2}>0,\forall t>0$ và $f(2)=f(4)=0$. Do đó $f(t)\le 0\iff 2\le t\le 4\iff 2\le x-2y\le 4\iff \frac{x-4}{2}\le y\le \frac{x-2}{2}$. Để tồn tại đúng $2$ giá trị nguyên của $y$ thì $x$ phải là số chẵn ($x=2k$), khi đó $k-2\le y\le k-1$ có đúng $2$ giá trị nguyên. Với $x\in [0;2024]$ và $x=2k$, ta có $k\in \{0;1;\dots ;1012\}$, gồm $1013$ giá trị nguyên của $x$. Chọn C.