Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+2=0$. Gọi $(N)$ là hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp trong mặt cầu $(S)$ và $(T)$ là hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất nội tiếp bên trong hình nón (tham khảo hình vẽ). Khi đó, điểm nào dưới đây có thể thuộc đường tròn đáy của hình trụ?

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 152 (trang 9): Chọn A. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1;1)$, bán kính $R=1$. Hình nón $(N)$ có thể tích lớn nhất nội tiếp $(S)$ có chiều cao $h_N=\frac{4}{3}$, bán kính đáy $r_N=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Hình trụ $(T)$ có diện tích xung quanh lớn nhất nội tiếp $(N)$ có chiều cao $h_T=\frac{h_N}{2}=\frac{2}{3}$, bán kính đáy $r_T=\frac{r_N}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$, tâm hai đáy cách $I$ một khoảng $\frac{1}{3}$. Do đó mọi điểm $X$ thuộc đường tròn đáy của $(T)$ đều thỏa $I{X}^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2+r_T^2=\frac{1}{3}$. Kiểm tra $M\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$ có $I{M}^2=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$.