Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$ và điểm $S(2;0;3)$. Đường thẳng $(\Delta )$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+(2a-2)t\\ y=-2+at\\ z=-4+t\end{array}$, trong đó $t$ là tham số và $a,t\in \mathbb{R}$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $S$ và $(\Delta )$, đường thẳng vuông góc với $(\alpha )$ tại $S$ cắt $(P)$ tại $N$. Khoảng cách $SN$ ngắn nhất bằng $\frac{m\sqrt{30}}{n},m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $(m,n)=1$. Tính giá trị biểu thức $m^2-n-1$.