Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz-3=0$. Biết mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và cách gốc $O$ một khoảng lớn nhất. Tổng $a+b+c$ bằng

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $(P)$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\Delta$. Ta có $d(O,(P))=OH\le OK$, đẳng thức xảy ra khi $H\equiv K$, tức $(P)$ đi qua $K$ và vuông góc với $OK$. Tìm tọa độ $K$ trên $\Delta$ sao cho $OK\perp \Delta$: điểm $K(1+t;1+2t;2t)\in \Delta$, $\overrightarrow{OK}\cdot {\vec{u}}_{\Delta }=0⟺1(1+t)+2(1+2t)+2(2t)=0⟺9t+3=0⟺t=-\frac{1}{3}⟹K\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ cùng phương với $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}(2;1;-2)$. Phương trình $(P)$: $2\left(x-\frac{2}{3}\right)+1\left(y-\frac{1}{3}\right)-2\left(z+\frac{2}{3}\right)=0⟺2x+y-2z-3=0$. Do đó $a=2,b=1,c=-2$. Tổng $a+b+c=2+1-2=1$. Chọn B.