Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho 4 điểm $A(2;3;-1),B(0;4;2),C(1;2;-1),D(7;2;1)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $P=4|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|+6|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P$?

Gọi $G$ là trọng tâm $△ABC\Rightarrow G(1;3;0)$. Gọi $I$ là trung điểm của $CD\Rightarrow I(4;2;0)$. Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MI}$. Do đó $P=12(MG+MI)$. Nhận xét hai điểm $G,I$ đều thuộc mặt phẳng $Oxy$ và nằm về cùng một phía đối với trục $Ox$. Gọi $G^{\prime }$ là điểm đối xứng với $G$ qua trục $Ox\Rightarrow G^{\prime }(1;-3;0)$. Khi đó $MG+MI=G^{\prime }M+MI\ge G^{\prime }I=\sqrt{(4-1{)}^2+(2+3{)}^2+0}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$. Đẳng thức xảy ra khi $M=G^{\prime }I\cap Ox$. Vậy $P_{\min }=12\sqrt{34}$. Chọn D.