Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(0;1;1)$, $B(1;0;-3)$, $C(-1;-2;-3)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+2z-2=0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

- d) Đúng: Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=4$ có tâm $I(1;0;-1)$ và bán kính $R=2$.
- b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-3;-4)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-8;8;-4)=-4(2;-2;1)$. Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(0;1;1)$ là $2x-2(y-1)+(z-1)=0\iff 2x-2y+z+1=0$.
- a) Đúng: Khoảng cách từ tâm $I(1;0;-1)$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là $d(I,(ABC))=\frac{|2\cdot 1-2\cdot 0-1+1|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{2}{3}$. Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-\frac{4}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
- c) Đúng: Thể tích tứ diện $ABCD$ lớn nhất khi $d(D,(ABC))$ lớn nhất. Đường thẳng $\Delta$ qua $I(1;0;-1)$ và vuông góc với $(ABC)$ có phương trình $x=1+2t,y=-2t,z=-1+t$. Giao điểm của $\Delta$ với $(S)$ ứng với $9t^2=4\iff t=\pm \frac{2}{3}$, cho hai điểm $D_1\left(\frac{7}{3};-\frac{4}{3};-\frac{1}{3}\right)$ và $D_2\left(-\frac{1}{3};\frac{4}{3};-\frac{5}{3}\right)$. Vì $d(D_1,(ABC))=R+\frac{2}{3}>d(D_2,(ABC))$ nên $D\left(\frac{7}{3};-\frac{4}{3};-\frac{1}{3}\right)$, suy ra $a+b+c=\frac{2}{3}$.