Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và đi qua điểm $A(0;4;1)$. Xét khối nón $(N)$ có đỉnh $A$ và nội tiếp trong khối cầu $(S)$. Khi diện tích xung quanh của hình nón $(N)$ lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình dạng $-x+by+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+2d$ bằng

Bán kính mặt cầu $R=IA=\sqrt{(0-1{)}^2+(4-2{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=3$.
Trục của hình nón đi qua đỉnh $A$ và tâm $I$ nên nhận $\overrightarrow{AI}=(1;-2;2)$ làm vectơ chỉ phương.
Khi diện tích xung quanh hình nón lớn nhất, chiều cao hình nón là $h=\frac{4R}{3}=4$.
Tâm đáy $H$ nằm trên tia $AI$ thỏa mãn $\overrightarrow{AH}=\frac{h}{R}\overrightarrow{AI}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AI}=\left(\frac{4}{3};-\frac{8}{3};\frac{8}{3}\right)$.
Suy ra tọa độ tâm đáy $H=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{11}{3}\right)$.
Mặt phẳng đáy $(P)$ vuông góc với $AI$ nên có VTPT $\vec{n}=(-1;2;-2)$.
Phương trình mặt phẳng đáy là:
$-1\left(x-\frac{4}{3}\right)+2\left(y-\frac{4}{3}\right)-2\left(z-\frac{11}{3}\right)=0⟺-x+2y-2z+6=0$.
Đối chiếu với dạng $-x+by+cz+d=0$, ta có $b=2,c=-2,d=6$.
Vậy $b+c+2d=2+(-2)+2(6)=12$.