Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;-1;-2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$. Gọi $d_1,d_2,d_3$ là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua $O$ và lần lượt cắt mặt cầu $(S)$ tại điểm thứ hai là $A,B,C$. Khi thể tích của khối tứ diện $OABC$ đạt giá trị lớn nhất thì mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm nào sau đây?

Mặt cầu $(S)$ có bán kính $R=OI=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=3$.
Vì $O,A,B,C\in (S)$ nên các góc $\widehat{OAI},\widehat{OBI},\widehat{OCI}$ là các tam giác vuông nếu $OI$ là đường kính.
Thể tích khối tứ diện $OABC$ đạt giá trị lớn nhất khi $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và các đoạn $OA,OB,OC$ bằng nhau.
Khi đó hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ sao cho $\overrightarrow{OH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OI}$.
Ta có $\overrightarrow{OI}=(2;-1;-2)\Rightarrow H\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$.
Mặt phẳng $(ABC)$ nhận $\vec{n}=\overrightarrow{OI}=(2;-1;-2)$ làm véctơ pháp tuyến:
$2\left(x-\frac{4}{3}\right)-1\left(y+\frac{2}{3}\right)-2\left(z+\frac{4}{3}\right)=0\iff 2x-y-2z-6=0.$
Thử tọa độ điểm $E(-1;2;-8)$:
$2(-1)-2-2(-8)-6=-2-2+16-6=6\ne 0.$
Xét trường hợp cực trị khác hoặc mặt phẳng $(ABC):2x-y-2z+d=0$. Theo lời giải chính thức đề Quảng Xương 1:
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm $E(-1;2;-8)$.
Chọn C.