Giả sử $z_1,z_2$ là hai trong số các số phức $z$ thỏa mãn $(z+i)(\bar{z}+3i)$ là số thuần ảo. Biết rằng $|z_1-z_2|=3$, giá trị lớn nhất của $|z_1+2z_2|$ bằng

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
Ta có $(z+i)(\bar{z}+3i)=[x+(y+1)i][x+(3-y)i]=x^2-(y+1)(3-y)+[x(3-y)+x(y+1)]i$.
Số phức này thuần ảo khi phần thực bằng 0:
$x^2-(y+1)(3-y)=0\iff x^2+y^2-2y-3=0\iff x^2+(y-1{)}^2=4.$
Do đó các điểm biểu diễn $A(z_1),B(z_2)$ nằm trên đường tròn tâm $I(0;1)$, bán kính $R=2$.
Ta có $AB=|z_1-z_2|=3$.
Xét biểu thức $P=|z_1+2z_2|=|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}|$.
Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\vec{0}$, tức là $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $\frac{MA}{MB}=2$, suy ra $M\in AB$ và $MA=2,MB=1$.
Khi đó $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OM}$, do đó $|z_1+2z_2|=3OM$.
Ta có $OM\le OI+IM$. Với $I(0;1)\Rightarrow OI=1$.
Tính $IM$ trong tam giác $IAB$ có $IA=IB=R=2,AB=3$:
Theo công thức độ dài đường trung tuyến mở rộng (Stewart):
$I{M}^2=\frac{1\cdot I{A}^2+2\cdot I{B}^2}{3}-\frac{1\cdot 2\cdot A{B}^2}{3^2}=\frac{4+8}{3}-\frac{2\cdot 9}{9}=4-2=2\Rightarrow IM=\sqrt{2}.$
Do đó $OM\le OI+IM=1+\sqrt{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $|z_1+2z_2|=3(1+\sqrt{2})=3+3\sqrt{2}$.
Chọn D.