Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=4$ và điểm $A(1;1;-1)$. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua $A$ và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu $(S)$ theo ba giao tuyến là các đường tròn $(C_1),(C_2),(C_3)$. Tổng bán kính của ba đường tròn $(C_1),(C_2),(C_3)$ là

Chọn C.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1;-2)$ và bán kính $R=2$.
Ta thấy điểm $A(1;1;-1)$ có $IA=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1<R=2$, nên $A$ nằm bên trong mặt cầu.
Xét trường hợp đặc biệt: ba mặt phẳng đôi một vuông góc qua $A$ lần lượt là $(P_1):x=1$, $(P_2):y=1$, $(P_3):z=-1$.
Khi đó $(P_1)$ và $(P_2)$ đều đi qua tâm $I(1;1;-2)$, nên $d(I,P_1)=0$ và $d(I,P_2)=0\Rightarrow r_1=r_2=R=2$.
Mặt phẳng $(P_3)$ có khoảng cách đến $I$ là $d(I,P_3)=IA=1$, do đó $r_3=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$.
Tổng bán kính của ba đường tròn là $r_1+r_2+r_3=2+2+\sqrt{3}=4+\sqrt{3}$.