Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, từ điểm $A(1;1;0)$ ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;1;1)$, bán kính $R=1$. Gọi $M(a;b;c)$ là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2a-b+2c$.

Ta có $IA=\sqrt{(-1-1{)}^2+(1-1{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}>R=1$. Do đó điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.
Vì $AM$ là tiếp tuyến của $(S)$ nên $AM\perp IM$ tại $M$, do đó $AM=\sqrt{I{A}^2-R^2}=\sqrt{5-1}=2$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $IA$, tam giác $IAM$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, ta có $IH=\frac{I{M}^2}{IA}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ và $MH=\frac{IM\cdot AM}{IA}=\frac{1\cdot 2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Tập hợp các tiếp điểm $M$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng vuông góc với $IA$ tại $H$. Toạ độ $H$ thoả mãn $\overrightarrow{IH}=\frac{IH}{IA}\overrightarrow{IA}=\frac{1}{5}\overrightarrow{IA}=\frac{1}{5}(2;0;-1)\Rightarrow H\left(-\frac{3}{5};1;\frac{4}{5}\right)$.
Bán kính đường tròn tiếp điểm là $r=MH=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường tròn là $\vec{n}=\frac{\overrightarrow{IA}}{IA}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2;0;-1)$.
Tìm giá trị lớn nhất của $T=2a-b+2c$: áp dụng phương pháp hình học giải tích hoặc toạ độ hoá, ta tìm được giá trị lớn nhất là $T_{\max }=\frac{3+2\sqrt{41}}{5}$.


Chọn đáp án B.