Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và điểm $B(2;3;4)$. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng qua hai điểm $A,B$ với mặt phẳng $(Oxy)$, $N$ thuộc trục $Oz$ sao cho $AN$ vuông góc với $AB$.

a) Đúng. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;3-2;4-3)=(1;1;1)$.

b) Sai. Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A(1;2;3)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(1;1;1)$ có dạng: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3+t\end{array}$.
Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên $z_M=0\iff 3+t=0\iff t=-3$.
Suy ra $x_M=1-3=-2$, $y_M=2-3=-1\Rightarrow M(-2;-1;0)$. Hoành độ của $M$ là $-2\ne -1$.

c) Sai. Ta có $\overrightarrow{MA}=(1-(-2);2-(-1);3-0)=(3;3;3)=3\overrightarrow{AB}\ne -3\overrightarrow{AB}$.

d) Đúng. $N\in Oz\Rightarrow N(0;0;c)$. Ta có $\overrightarrow{AN}=(-1;-2;c-3)$.
$AN\perp AB\iff \overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{AB}=0\iff -1\cdot 1+(-2)\cdot 1+(c-3)\cdot 1=0\iff c-6=0\iff c=6\Rightarrow N(0;0;6)$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=(2;1;6)\Rightarrow MN=\sqrt{2^2+1^2+6^2}=\sqrt{41}$.
$MA=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=3\sqrt{3}$, $AN=\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2+(6-3{)}^2}=\sqrt{14}$.
Vì $\Delta MAN$ vuông tại $A$ nên $M{N}^2=M{A}^2+A{N}^2=27+14=41$.
Trong $\Delta MAN$ vuông tại $A$ với $M,A,B$ thẳng hàng, $\widehat{NMB}=\widehat{NMA}$, ta có:
$\tan \widehat{NMB}=\frac{AN}{MA}=\frac{\sqrt{14}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{42}}{9}$.