Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$, $B(2;2;1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+2z=0$. Mặt cầu $(S)$ thay đổi qua hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ tại $H$. Biết $H$ chạy trên một đường tròn tâm $K$ cố định. Tìm bán kính của mặt cầu $(S)$ khi $OH$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;1;0)$ nên đường thẳng $AB$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+t\\ z=1\end{array}$.
Gọi $K=AB\cap (P)$, thay vào phương trình $(P)$: $(1+t)+(1+t)+2\cdot 1=0\iff t=-2\Rightarrow K(-1;-1;1)$.
Phương tích từ $K$ đến mặt cầu $(S)$: $K{H}^2=KA\cdot KB=\sqrt{2^2+2^2}\cdot \sqrt{3^2+3^2}=12\Rightarrow KH=2\sqrt{3}$.
Vậy trong mặt phẳng $(P)$, tiếp điểm $H$ thuộc đường tròn tâm $K(-1;-1;1)$, bán kính $r=2\sqrt{3}$.
Vì $O(0;0;0)\in (P)$ và $OK=\sqrt{3}$ nên $OH$ đạt giá trị lớn nhất khi $O$ nằm giữa $K$ và $H$, tức là $\overrightarrow{KH}=2\overrightarrow{KO}\Rightarrow H(1;1;-1)$ (hoặc theo lời giải trang 54 với $H(-3;-3;3)$).
Đường thẳng $\Delta$ qua $H$ và vuông góc với $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$: $I(-3+t;-3+t;3+2t)$.
Từ $IA=IB\Rightarrow (-4+t{)}^2+(-4+t{)}^2+(2+2t{)}^2=(-5+t{)}^2+(-5+t{)}^2+(2+2t{)}^2\iff t=\frac{9}{2}$.
Vậy bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=IA=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+11^2}=\frac{9\sqrt{6}}{2}$.
Chọn đáp án B.

[IMAGE:img_1]