Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),B(6;5;5)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có đường kính $AB$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đoạn $AB$ tại $H$ sao cho khối nón đỉnh $A$ và đáy là hình tròn tâm $H$ (giao của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P):2x+by+cz+d=0$ với $b,c,d\in \mathbb{R}$. Tính $S=b+c+d$.

Tâm của mặt cầu là trung điểm $AB$: $I(4;3;4)$, bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{4^2+4^2+2^2}}{2}=3$.
Đặt khoảng cách $IH=x$ ($0\le x<R=3$). Chiều cao khối nón là $h=AH=R+x=3+x$.
Bán kính đường tròn đáy nón là $r=\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{9-x^2}$.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (9-x^2)(3+x)=\frac{1}{3}\pi (3-x)(3+x{)}^2$.
Xét hàm số $f(x)=(3-x)(3+x{)}^2$ trên $[0;3)$, ta có $f^{\prime }(x)=0⟺x=1$.
Do đó $V$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=1$, suy ra $IH=1$ và $H$ nằm giữa $I$ và $B$.
Khi đó $\overrightarrow{AH}=\frac{4}{6}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}(4;4;2)=\left(\frac{8}{3};\frac{8}{3};\frac{4}{3}\right)⟹H\left(\frac{14}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3}\right)$.
Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ nên nhận $\vec{n}=(2;2;1)$ làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$2\left(x-\frac{14}{3}\right)+2\left(y-\frac{11}{3}\right)+1\left(z-\frac{13}{3}\right)=0⟺2x+2y+z-21=0$.
Đối chiếu với $(P):2x+by+cz+d=0$ ta được $b=2,c=1,d=-21$.
Vậy $S=b+c+d=2+1-21=-18$. Chọn A.