Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec{u}=(2;-1;3)$, mặt phẳng $(P):x+2y-2z+5=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0$.

a) Đúng: Phương trình mặt cầu: $x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0\Rightarrow I(1;2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+(-1{)}^2-(-3)}=3$.
b) Sai: Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(P)$ là $d(I,(P))=\frac{|1+2(2)-2(-1)+5|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{12}{3}=4\ne \frac{7}{3}$.
c) Đúng: Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;2;-2)$. Góc giữa giá của $\vec{u}$ và $(P)$ thỏa mãn:
$\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|2(1)-1(2)+3(-2)|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+3^2}\cdot 3}=\frac{6}{3\sqrt{14}}=\frac{2}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{7}$.
d) Đúng: Khoảng cách lớn nhất giữa điểm $M\in (S)$ và $N\in (P)$ theo hướng $\vec{u}$ là $M{N}_{\max }=\frac{d(I,(P))+R}{\sin \alpha }=\frac{4+3}{\sqrt{14}/7}=\frac{49}{\sqrt{14}}=\frac{7\sqrt{14}}{2}$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 0201: a-Đ, b-S, c-Đ, d-Đ).