Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh có 105 em dự thi, có 10 em tham gia buổi gặp mặt trước kỳ thi. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành một cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có năm ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau.

Mỗi cách xếp 10 học sinh vào 10 chiếc ghế là một hoán vị của 10 phần tử, vì vậy số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10!$.
Gọi các số thứ tự của 10 học sinh theo thứ tự tăng dần là $u_1,u_2,\dots ,u_{10}$, lập thành một cấp số cộng có công sai $d>0$.
Ta có tính chất của cấp số cộng: $u_1+u_{10}=u_2+u_9=u_3+u_8=u_4+u_7=u_5+u_6=S$.
Vì dãy số tăng nghiêm ngặt nên đây là cách phân chia duy nhất 10 số đã cho thành 5 cặp có tổng bằng nhau.
Do đó, 5 cặp đối diện bắt buộc phải là: $(u_1,u_{10}),(u_2,u_9),(u_3,u_8),(u_4,u_7),(u_5,u_6)$.
Số cách xếp 5 cặp vào 5 vị trí đối diện:
- Có $5!$ cách phân phối 5 cặp vào 5 cặp ghế đối diện.
- Mỗi cặp học sinh có $2!$ cách hoán đổi vị trí hai ghế đối diện nhau.
Suy ra số kết quả thuận lợi là $n(A)=5!\cdot 2^5$.
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{5!\cdot 2^5}{10!}=\frac{120\cdot 32}{3628800}=\frac{3840}{3628800}=\frac{1}{945}$. Chọn C.