Trong mặt phẳng $Oxy$, có một nguồn âm phát ra từ điểm I. Biết rằng tại ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(1; 0) nhận được âm thanh sau 2 giây kể từ khi nguồn âm phát ra. Hỏi sau bao nhiêu giây để điểm D(9; 4) nhận được âm thanh từ nguồn phát ra? (Biết vận tốc âm thanh truyền đi là một hằng số)

Do vận tốc truyền âm không đổi và âm thanh phát ra từ điểm $I$ mà ba điểm $A(1;2)$, $B(3;4)$ và $C(1;0)$ nhận được âm thanh sau 2 giây nên ta có $IA=IB=IC$. Khi đó $I$ là tâm đường tròn $(C)$ ngoại tiếp $△ABC$.

Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$, (với $a^2+b^2-c>0$) thì ta có hệ phương trình

$$\{\begin{array}{l}-2a-4b+c=-5\\ -6a-8b+c=-25\\ -2a+c=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\\ c=7\end{array}.$$

Khi đó đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;1)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{10}$.

Ta có $ID=\sqrt{(9-4{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{34}$.

Do vận tốc âm thanh không đổi nên thời gian nhận được âm thanh tỉ lệ với quãng đường đi nên $\frac{t_{ID}}{t_{IA}}=\frac{ID}{IA}\Rightarrow t_{ID}=\frac{ID}{IA}\cdot t_{IA}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{10}}\cdot 2=\frac{2\sqrt{85}}{5}$.