Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $I(1;-1)$ và hai đường thẳng $d_1:x+y-3=0$, $d_2:x-2y-6=0$. Hai điểm $A,B$ lần lượt thuộc hai đường thẳng $d_1,d_2$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $I$ và một vecto pháp tuyến là $\vec{n}(3;4)$.

b) Lập phương trình đường thẳng $AB$.

a) Hướng dẫn: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $3(x-1)+4(y+1)=0$ hay $3x+4y+1=0$. Kết luận: phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $3x+4y+1=0$. (0,25 điểm + 0,25 điểm)

b) Vì $A\in d_1$, giả sử $A(a;3-a)$; vì $B\in d_2$, giả sử $B(2b+6;b)$.

$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}\frac{a+2b+6}{2}=1\\ \frac{3-a+b}{2}=-1\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}a+2b=-4\\ a-b=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-3\end{array}\Rightarrow A(2;1);B(0;-3)$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{BA}=(2;4)\Rightarrow \overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{u_1}$$ Suy ra: Đường thẳng $AB$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$, một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$.

HS viết được một trong hai dạng phương trình đường thẳng của AB: (0,25)
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình là $2(x-2)-1.(y-1)=0$ hay PTTQ: $2x-y-3=0$.
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số là: $$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\end{array}$$ hoặc $$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-3+2t\end{array}$$

(Điểm: 0,25 cho bước hệ phương trình trung điểm; 0,25 cho hai dạng phương trình đường thẳng.)