Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B có phương trình là ${\Delta }_1:x+3y-18=0$, phương trình đường trung trực của đoạn BC là ${\Delta }_2:3x+19y-279=0$, đỉnh C thuộc đường thẳng $d:2x-y+5=0$ và biết $\widehat{BAC}=135^0$. Giả sử $A(a;b)$, tính tổng $a^2+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đường cao từ B là ${\Delta }_1:x+3y-18=0$ nên $AC\perp {\Delta }_1$, suy ra $AC$ có hệ số góc $3$, tức $A,C$ thuộc đường thẳng hệ số góc $3$. Gọi $A(a;b)$, đường thẳng $AC$: $y=3x+k$ với $k=b-3a$. Giao với $d:2x-y+5=0$ ta được $C=(5-b+3a;15-2b+6a)$.

Vì $\widehat{BAC}=135^{\circ }$ và slope của $AC$ là $3$, đường thẳng $AB$ có hệ số góc $m$ thỏa $\frac{m-3}{1+3m}=\pm 1$, cho $m=-2$ hoặc $m=\frac{1}{2}$.

Trung trực của $BC$ là ${\Delta }_2:3x+19y-279=0$ nên $BC\perp {\Delta }_2$ (hệ số góc $BC=\frac{19}{3}$) và trung điểm của $BC$ thuộc ${\Delta }_2$.

Xét $m=-2$: giao của $AB:y-b=-2(x-a)$ với ${\Delta }_1$ cho $B=\left(\frac{3b+6a-18}{5};\frac{108-3b-6a}{15}\right)$.

• Điều kiện $BC$ có hệ số góc $\frac{19}{3}$: $\frac{9b-32a-39}{8b-9a-43}=\frac{19}{3}\Rightarrow 3a-5b+28=0$.

• Điều kiện trung điểm $M$ của $BC$ thuộc ${\Delta }_2$: $3(x_B+x_C)+19(y_B+y_C)=558\Rightarrow 119a-43b=132$.

Giải hệ: $a=4,b=8$. Khi đó $B=(6;4)$, $C=(9;23)$, kiểm tra $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{2\cdot 5+(-4)\cdot 15}{\sqrt{20}\sqrt{250}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, đúng $\widehat{BAC}=135^{\circ }$.

Trường hợp $m=\frac{1}{2}$ cho nghiệm không nguyên và góc tại $A$ tính theo tia thực tế không thỏa $135^{\circ }$, nên loại.

Vậy $a^2+b=4^2+8=24$, khớp với đáp án của đề.