Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $AB$ bằng 70m, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc $30^{\circ }$. Phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{\circ }30^{\prime }$. Tính chiều cao của ngọn núi so với mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị).

[Hình cần kiểm tra lại: p7_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh $C$ xuống mặt đất, $K$ là điểm trên $CH$ có cùng độ cao với $B$ (nên $BK$ nằm ngang). Theo hình vẽ, $A$ nằm trên mặt đất, $B$ cao hơn $A$ một khoảng $AB=70$ m, nên $KH=70$ m và $CK=h-70$ với $h=CH$ là chiều cao ngọn núi; đồng thời $BK=AH$ là khoảng cách ngang.

Từ $A$, góc nâng nhìn đỉnh $C$ là $30^{\circ }$:
$$\tan 30^{\circ }=\frac{h}{AH}\Rightarrow AH=\frac{h}{\tan 30^{\circ }}=h\sqrt{3}.$$

Từ $B$, góc nâng nhìn đỉnh $C$ là $15^{\circ }30^{\prime }$:
$$\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{CK}{BK}=\frac{h-70}{h\sqrt{3}}.$$

Suy ra $h-70=h\sqrt{3}\tan 15^{\circ }30^{\prime }$. Với $\tan 15^{\circ }30^{\prime }\approx 0,27732$ thì $\sqrt{3}\tan 15^{\circ }30^{\prime }\approx 0,48032$, nên
$$h(1-0,48032)=70\Rightarrow h=\frac{70}{0,51968}\approx 134,7\text{ m}.$$

Vậy chiều cao của ngọn núi so với mặt đất khoảng $135$ m (làm tròn đến hàng đơn vị).