Xét các đa thức $P(x),Q(x),R(x)$ với hệ số thực có bậc không quá 2027 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $P(x)\le Q(x)\le R(x)$.

ii) Có 1013 số thực phân biệt $x_1,x_2,\dots ,x_{1013}$ thỏa mãn $P(x_i)=R(x_i),\forall i=1,2,\dots ,1013$.

a) Chứng minh rằng: nếu tồn tại số thực $x_0$ khác tất cả các số $x_1,x_2,\dots ,x_{1013}$ và thỏa mãn $P(x_0)+R(x_0)=2Q(x_0)$ thì $P(x)+R(x)=2Q(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

b) Giả sử $P(x),Q(x),R(x)$ đôi một phân biệt và $R(x)$ có bậc lẻ. Tồn tại hay không đa thức $Q(x)$ sao cho $R(x)-P(x)$ chia hết cho $Q(x)$?

Đặt $A(x)=Q(x)-P(x)$ và $B(x)=R(x)-Q(x)$ thì $A(x)\ge 0$ và $B(x)\ge 0$ với mọi $x$.
Tại mỗi $x_i$ ta có $A(x_i)+B(x_i)=R(x_i)-P(x_i)=0$ nên $A(x_i)=B(x_i)=0$.
Mỗi nghiệm thực của một đa thức không âm đều có bội chẵn nên nếu $A$ không đồng nhất bằng 0 thì bậc của $A$ ít nhất là $2\cdot 1013=2026$. Mặt khác, bậc của một đa thức không âm khác 0 là số chẵn và không vượt quá 2027, nên bậc của $A$ đúng bằng 2026, tương tự với $B$. Đặt
$$S(x)=\prod _{i=1}^{1013}(x-x_i{)}^2.$$
Khi đó tồn tại các hằng số $\alpha ,\beta \ge 0$ sao cho
$$A(x)=Q(x)-P(x)=\alpha S(x),B(x)=R(x)-Q(x)=\beta S(x).$$

a) Để ý $A(x_0)=B(x_0)$ nên $\alpha S(x_0)=\beta S(x_0)$. Vì $x_0\ne x_i$ với mọi $i$, ta có $S(x_0)>0$.
Từ đó suy ra $\alpha =\beta$, do đó $P(x)+R(x)=2Q(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

b) Vì $P,Q,R$ đôi một phân biệt nên $\alpha ,\beta >0$. Giả sử $Q$ là một ước khác 0 của
$$R-P=(\alpha +\beta )S.$$
Khi đó $\mathrm{deg}Q\le 2026$. Nếu $\mathrm{deg}Q<2026$, từ $R=Q+\beta S$ suy ra $\mathrm{deg}R=2026$, trái với giả thiết bậc của $R$ là lẻ. Nếu $\mathrm{deg}Q=2026$, vì $Q$ chia hết $(\alpha +\beta )S$ và hai vế có cùng bậc nên $Q=\gamma S$ với một hằng số $\gamma \ne 0$. Khi đó $R=(\gamma +\beta )S$, do đó hoặc $R\equiv 0$, hoặc $\mathrm{deg}R=2026$. Cả hai khả năng đều trái với giả thiết, từ đó không tồn tại đa thức thỏa mãn.