Xét các số phức $w,z$ thỏa mãn $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=(2+i)(z-4)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-2i|+|z-6-2i|$.

Từ $5w=(2+i)(z-4)\Rightarrow 5(w+i)=(2+i)(z-3+2i)\Rightarrow |z-3+2i|=\frac{5|w+i|}{|2+i|}=3$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn của $z$, thì $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(3;-2)$, bán kính $R=3$.

[IMAGE_1]

Đặt $A(0;2),B(6;2)$ và $H(3;2)$ là trung điểm của $AB$. Ta có $P=MA+MB\le \sqrt{2(M{A}^2+M{B}^2)}=\sqrt{4M{H}^2+A{B}^2}$. Do $MH\le IH+R=4+3=7$ và $AB=6$, suy ra $P_{\max }=\sqrt{4\cdot 7^2+6^2}=2\sqrt{58}$.