Xét các số phức $z$ thỏa mãn $|z-i|=2$. Biết rằng biểu thức $P=|z+3i|+2|z-5-i|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Khi đó, giá trị của tổng $x+y$ bằng

Gọi $M(x;y)$ biểu diễn $z$, tập hợp $M$ là đường tròn tâm $I(0;1)$, bán kính $R=2$. Với $A(0;-3)$ và $B(5;1)$, ta có $P=MA+2MB$.
Vì $IA=4=2R$ nên với điểm $O(0;0)$ thỏa mãn $\overrightarrow{IO}=\frac{1}{4}\overrightarrow{IA}$, ta có $△IMO\sim △IAM\Rightarrow MA=2MO$.
Do đó $P=2(MO+MB)\ge 2OB$, dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đoạn $OB$ ($x=5t,y=t,t>0$) với đường tròn $x^2+(y-1{)}^2=4$:
$26t^2-2t-3=0\Rightarrow t=\frac{1+\sqrt{79}}{26}\Rightarrow x+y=6t=\frac{3+3\sqrt{79}}{13}$.