Xét các số thực $a,b,c\ge 1$ thỏa mãn $6{\log }_{2ab}c=1+{\log }_a(b^2+1)\cdot {\log }_{2b}^{2}c$. Khi ${\log }_c(2b)$ đạt giá trị lớn nhất thì $a+b+c$ gần với giá trị nào nhất sau đây?

Chọn D.
Ta có $\{\begin{array}{l}{\log }_{2ab}c=\frac{1}{{\log }_{c}2ab}=\frac{1}{{\log }_{c}a+{\log }_{c}2b}\\ b^2+1\ge 2b\Rightarrow {\log }_a(b^2+1)\ge {\log }_{a}2b={\log }_{a}c\cdot {\log }_c(2b)\end{array}$.
Khi đó $6{\log }_{2ab}c=1+{\log }_a(b^2+1)\cdot {\log }_{2b}^{2}c\ge 1+{\log }_a(b^2+1)\cdot ({\log }_{2b}c{)}^2$.
Đặt $t={\log }_c(2b)$.
Suy ra $6\cdot \frac{1}{t+{\log }_{c}a}\ge 1+{\log }_{a}c\cdot {\log }_{c}2b\cdot ({\log }_{2b}c{)}^2\iff 6\cdot \frac{1}{t+{\log }_{c}a}\ge 1+{\log }_{a}c\cdot t\cdot {\left(\frac{1}{t}\right)}^2$
$\iff 6t\ge (t+{\log }_{c}a)(t+{\log }_{a}c)\iff t^2+({\log }_{c}a+{\log }_{a}c-6)t+1\le 0(1)$.
Đặt $m={\log }_{c}a+{\log }_{a}c-6$.
Bất phương trình $(1)$ có nghiệm $\iff \Delta \ge 0\iff m^2-4\ge 0\iff [\begin{array}{l}m\ge 2\\ m\le -2\end{array}$.
Mặt khác $m={\log }_{c}a+{\log }_{a}c-6\ge 2\sqrt{{\log }_{c}a\cdot {\log }_{a}c}-6=-4$.
Suy ra $m\in [-4;-2]\cup [2;+\infty )$.
Khi đó $\frac{-m-\sqrt{m^2-4}}{2}\le t\le \frac{-m+\sqrt{m^2-4}}{2}$ với $m\in [-4;-2]\cup [2;+\infty )$.
Ta thấy $t_{\max }=\frac{-m+\sqrt{m^2-4}}{2}$ đạt được khi $m=-4$.
Vậy $t={\log }_c(2b)$ đạt giá trị lớn nhất khi $m=-4\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=1\\ {\log }_{c}a={\log }_{a}c=1\\ {\log }_{c}2b=2+\sqrt{3}\approx 3,73\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=1\\ a=c=2^{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}=2^{2-\sqrt{3}}\approx 1,204\end{array}$.
Suy ra $a+b+c\approx 1,204+1+1,204\approx 3,41$.