Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_3\left(\frac{1-xy}{x+2y}\right)=3xy+x+2y-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min }$ của biểu thức $P=x+y$.

Chọn A.
Điều kiện: $1-xy>0$ và $x,y>0$.
Phương trình tương đương:
${\log }_3(1-xy)-{\log }_3(x+2y)=3(xy-1)+(x+2y)-1$
$⟺{\log }_3[3(1-xy)]-{\log }_3(x+2y)=-3(1-xy)+(x+2y)$
$⟺{\log }_3[3(1-xy)]+3(1-xy)={\log }_3(x+2y)+(x+2y).$
Xét hàm số đặc trưng $g(t)={\log }_{3}t+t$ với $t>0$, có $g^{\prime }(t)=\frac{1}{t\ln 3}+1>0$ nên $g(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Suy ra:
$3(1-xy)=x+2y⟺3-3xy=x+2y⟺x(1+3y)=3-2y⟺x=\frac{3-2y}{1+3y}.$
Vì $x>0$ nên $3-2y>0⟹0<y<\frac{3}{2}$.
Biểu thức $P=x+y=\frac{3-2y}{1+3y}+y$.
Xét hàm số $f(y)=y+\frac{3-2y}{1+3y}$ trên $\left(0;\frac{3}{2}\right)$:
$f^{\prime }(y)=1+\frac{-2(1+3y)-3(3-2y)}{(1+3y{)}^2}=1-\frac{11}{(1+3y{)}^2}=\frac{(1+3y{)}^2-11}{(1+3y{)}^2}.$
$f^{\prime }(y)=0⟺(1+3y{)}^2=11⟺1+3y=\sqrt{11}⟺y=\frac{\sqrt{11}-1}{3}\in \left(0;\frac{3}{2}\right)$.
Tại điểm này:
$P_{\min }=f\left(\frac{\sqrt{11}-1}{3}\right)=\frac{\sqrt{11}-1}{3}+\frac{3-2\left(\frac{\sqrt{11}-1}{3}\right)}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}-1}{3}+\frac{11-2\sqrt{11}}{3\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}-1}{3}+\frac{\sqrt{11}-2}{3}=\frac{2\sqrt{11}-3}{3}.$
Vậy $P_{\min }=\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}$.