Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn $x>\frac{1}{2}$, $0<y<2\sqrt{2}$ và $1+(1-xy){\log }_4(xy+2x)+x^2{\log }_2(x+1)={\log }_{x^2-xy+3}2$. Khi biểu thức $7x+9y$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của biểu thức $12y-4x$ thuộc khoảng nào sau đây?

Đặt $a=xy+2x>0$ và $b=(x+1{)}^2>0$, khi đó $b-a=x^2-xy+1$. Phương trình viết lại thành $1+\frac{1-xy}{2}{\log }_{2}a+\frac{x^2}{2}{\log }_{2}b=\frac{1}{{\log }_2(b-a+2)}$. Bằng phương pháp đánh giá hàm đơn điệu, đẳng thức xảy ra khi $a=b⟺xy+2x=(x+1{)}^2⟺xy=x^2+1⟺y=x+\frac{1}{x}$. Khi đó $7x+9y=16x+\frac{9}{x}\ge 2\sqrt{16\cdot 9}=24$, đạt giá trị nhỏ nhất khi $16x=\frac{9}{x}⟹x=\frac{3}{4}$ và $y=\frac{25}{12}$ (thỏa mãn điều kiện). Suy ra $12y-4x=25-3=22\in (20;30)$. Chọn đáp án A.