Xét hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-{\bar{z}}_1|=2|z_1-2-i|$ và $|z_2+i|=|z_2+1+2i|$. Tính giá trị nhỏ nhất của $|z_1-z_2|$ bằng

Gọi $z_1=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $|z_1-{\bar{z}}_1|=2|z_1-2-i|\iff |2yi|=2|(x-2)+(y-1)i|\iff y^2=(x-2{)}^2+(y-1{)}^2\iff y=\frac{x^2}{2}-2x+\frac{5}{2}$.

Vậy tập hợp điểm $M(x;y)$ biểu diễn $z_1$ là Parabol $(P):y=\frac{x^2}{2}-2x+\frac{5}{2}$.

Gọi $z_2=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Ta có $|z_2+i|=|z_2+1+2i|\iff a^2+(b+1{)}^2=(a+1{)}^2+(b+2{)}^2\iff a+b+2=0$.

Vậy tập hợp điểm $N(a;b)$ biểu diễn $z_2$ là đường thẳng $\Delta :x+y+2=0$.

Ta có $|z_1-z_2|=MN\ge d(M,\Delta )=\frac{\left|x+\frac{x^2}{2}-2x+\frac{5}{2}+2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\frac{1}{2}(x-1{)}^2+4\right|\ge 2\sqrt{2}$.

Dấu “$=$” xảy ra khi $x=1$. Vậy $|z_1-z_2|$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{2}$.