Xét hàm số $f(x)=x+\cos x$ trên $\mathbb{R}$.

a) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\cos x)dx=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$. Vậy a) sai.

b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\sin x+5\right)}^{\prime }=x-\cos x\ne f(x)$ nên b) sai.

c) Ta có $f^{\prime }(x)=1-\sin x$ nên c) đúng.

d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0+\sin 0+C=1\Rightarrow C=1$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}+\sin \pi +1=\frac{{\pi }^2}{2}+1$. Vậy d) đúng.
a) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\cos x)dx=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$. Vậy a) sai.
b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\sin x+5\right)}^{\prime }=x-\cos x\ne f(x)$ nên b) sai.
c) Ta có $f^{\prime }(x)=1-\sin x$ nên c) đúng.
d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0+\sin 0+C=1\Rightarrow C=1$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}+\sin \pi +1=\frac{{\pi }^2}{2}+1$

Vậy d) đúng.