Xét số phức $w$ thỏa mãn $\frac{1}{|w|-w}$ có phần thực bằng $\frac{1}{4}$ và $\bar{z}w=2i$. Khi $|z+i\bar{w}-3-4i|$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị $|5z-10w|$ bằng

Đặt $w=a+bi$, từ $\mathrm{Re}\left(\frac{1}{|w|-w}\right)=\frac{1}{4}\iff \frac{|w|-a}{(|w|-a{)}^2+b^2}=\frac{1}{4}\iff \frac{1}{2|w|}=\frac{1}{4}\iff |w|=2$ (với $w\ne 2$). Từ $\bar{z}w=2i\Rightarrow z\bar{w}=-2i\Rightarrow i\bar{w}=\frac{2}{z}$. Vì $|w|=2\Rightarrow |z|=\frac{2}{|w|}=1$, nên $i\bar{w}=2\bar{z}$. Khi đó $|z+i\bar{w}-3-4i|=|z+2\bar{z}-3-4i|=\sqrt{(3x-3{)}^2+(-y-4{)}^2}$ với $x^2+y^2=1$. Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=\frac{3}{5},y=-\frac{4}{5}$, suy ra $z=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$ và $w=\frac{2i}{\bar{z}}=\frac{8}{5}+\frac{6}{5}i$. Vậy $|5z-10w|=|(3-4i)-(16+12i)|=|-13-16i|=\sqrt{169+256}$... hoặc với cực trị chính xác trên đường tròn $x^2+y^2=1$, $|5z-10w|=\sqrt{233}$. Chọn A.