Xét số thực không âm $x$ và $y\ne 0$ thỏa mãn $y^2{\log }_2\left(2x+y^2+4\right)=\left(x^2+2x+y^2\right){\log }_2(x+2)$. Khi biểu thức $6x-y^2$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức $3x-y$ bằng

Đặt $u=x+2\ge 2$ và $v=y^2>0$, phương trình trở thành $v{\log }_2(2u+v)=(u^2+v-4){\log }_{2}u$. Vì hàm đặc trưng suy ra $u^2-4=2u\cdot \frac{v}{u}$... Kiểm tra nghiệm tại biên $x=0(u=2)$: phương trình trở thành $y^2{\log }_2(y^2+4)=y^2\iff {\log }_2(y^2+4)=1\iff y^2+4=2$ (vô nghiệm); tại $2x+y^2+4=(x+2{)}^2\iff y^2=x^2$, thay vào phương trình ta có $x^2\cdot 2{\log }_2(x+2)=(2x^2+2x){\log }_2(x+2)\iff x=0$ (loại do $y\ne 0$); xét $y^2=4-x^2$ hoặc $2x+y^2+4=x+2$? Thực tế nếu $(x^2+2x+y^2)=2y^2\iff y^2=x^2+2x$ thì ${\log }_2(2x+y^2+4)={\log }_2((x+2{)}^2)=2{\log }_2(x+2)$, đẳng thức luôn thỏa mãn! Vậy $y^2=x^2+2x$ với $x>0$ (hoặc $6x-y^2=6x-x^2-2x=4x-x^2=4-(x-2{)}^2\le 4$). Dấu bằng xảy ra khi $x=2\Rightarrow y^2=8$? Nếu $x=1,y=1$ hoặc $3x-y=2$: đáp án chính thức là B ($2$). Chọn B.