Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M(3;-1)$ là điểm biểu diễn số phức $z$. Tính $|z|$.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_4(x-1{)}^2-{\log }_{2}3=1$ bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x-2)<1$ là

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$ thì ${\int }_0^2\left(1-f(x)\right)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số bậc ba $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tính $I={\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)\text{d}x$.

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a$ khác $1$, $\frac{{\log }_{2}b}{{\log }_{2}a}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;3;-4)$. Điểm nào dưới đây là điểm đối xứng với điểm $A$ qua gốc tọa độ $O$?

Hàm số $y=x^4+2x^2+1$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+3z-1=0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u}=(0;1;2)$ và $\vec{v}=(2;-1;0)$. Tính $\cos (\vec{u},\vec{v})$.

Cho hình trụ có chiều cao $h=3$ và bán kính đáy $r=4$. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-1;2)$ và đi qua điểm $A(2;1;1)$. Phương trình của $(S)$ là

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $9a^2$ và chiều cao bằng $3a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt[3]{(x^2+1{)}^4}$.

Hàm số $f(x)=x^2{e}^{1-x}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hai số phức $z_1=1+i$ và $z_2=4-5i$. Số phức $z_1-z_2$ bằng

Trong một hộp có $15$ viên bi cùng kích thước được đánh số khác nhau từ số $1$ đến số $15$. Người ta lấy ngẫu nhiên cùng một lúc từ hộp ra hai viên bi rồi nhân hai số ghi trên hai viên bi đó với nhau. Xác suất để tích thu được là một số chẵn bằng

Biết trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$ thì $\int f(x)\text{d}x=4x^3+3x^2+C$. Tìm hàm số $f(x)$.

Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $z-2\bar{z}=-3+6i$. Tính $P=ab$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-3;2)$ và cắt mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$. Mặt cầu $(S)$ có phương trình là

Biết $z_0$ là một nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^2-4z+5=0$. Phần thực của số phức $i{z}_0$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $BD$ bằng

Cho $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thỏa mãn ${\log }_2(\sin x)+{\log }_2(\cos x)=-3$. Tính $P={\log }_2(\sin x+\cos x)$.

Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{2}x\text{d}x=a.\pi +b$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $P=ab$.

Cho $6$ điểm sao cho không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với $3$ đỉnh là $3$ điểm trong $6$ điểm đã cho?

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và trục hoành là

Cắt một hình trụ $(T)$ bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $2$. Thể tích của khối trụ được tạo nên bởi hình trụ $(T)$ bằng

Trên đoạn $[2;6]$, hàm số $y=x+\frac{16}{x-1}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào dưới đây?

Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng $2a$. Chiều cao của hình nón đã cho bằng

Cho $a,b$ là hai số thực dương, khác $1$ và thỏa mãn $b^{2({\log }_{a}b{)}^2+1}-a^{18}=0$. Giá trị ${\log }_{a}b$ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên bằng $a$ và cạnh đáy bằng $2a$ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-z+1=0$ và đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=-t\\ z=-2+2t\end{array}$. Xét đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và cắt đường thẳng $\Delta$. Khi $d$ vuông góc với $\Delta$ thì đường thẳng $d$ đi qua điểm nào dưới đây?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1$ và $u_2=4$. Tìm $u_3$.

Cho hình thang $ABCD$ với $AB=AD=1$, $DC=3$, $\widehat{BAD}=\widehat{ADC}=90^{\circ }$. Cung tròn đi qua $B$ và $D$ là một phần của đường tròn có tâm là $A$; gọi $(H)$ (phần tô đậm trên hình vẽ bên) là hình phẳng giới hạn bởi cung tròn và các đoạn thẳng $BC,DC$. Quay hình $(H)$ quanh đường thẳng $DC$ tạo thành một khối tròn xoay, tính thể tích $V$ của khối tròn xoay này.

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị là $(P)$, một đường thẳng $\Delta$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm là $A(-1;-3)$ và $B(2;-1)$ như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng $\frac{3}{2}$, tính tích phân $I={\int }_{-1}^2(2x+1)f^{\prime }(x)\text{d}x$.

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z-2+i|=5$ và $\frac{i-2}{z-7+i}$ là số thực?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-6y-6z+21=0$. Biết hai mặt phẳng $(P),(Q)$ cùng chứa đường thẳng $d$ và lần lượt tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $A,B$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$. Tích của các khoảng cách từ các điểm $A,B,O$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ bằng

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng $\frac{a\sqrt{2}}{3}$. Thể tích của khối tứ diện $A{B}^{\prime }B{C}^{\prime }$ bằng

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để với mỗi giá trị $m$ đó thì hàm số $y={\log }_2^{3}x-m{\log }_2^{2}x+(4m-15){\log }_{\frac{1}{2}}x+m$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$?

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;1;1),B(x_B;y_B;z_B)$. Đường cao kẻ từ $B$ và đường cao kẻ từ $C$ của tam giác này tương ứng nằm trên các đường thẳng có phương trình $\frac{x-4}{4}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z-1}{-2}$, $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-a}{b}$ ($a,b$ là các tham số thực). Phát biểu nào sau đây đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $x^{5}f(x)-2x^{2}f\left(\frac{1}{x^2}\right)=x^6-x^4-2,\forall x>0$. Biết rằng ${\int }_2^{16}f(x)\text{d}x=a+\ln b$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giá trị của $J=a-2b^2$.

Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ đó, tồn tại đúng hai giá trị $x$ phân biệt thuộc đoạn $[-2;4]$ thỏa mãn $3+{\log }_3(63+2x-x^2)={\log }_2(x^3+3x^2-9x-y)$?

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ và bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $(-10;20)$ mà ứng với mỗi $m$ đó thì hàm số $g(x)=f^3\left(m|2x+m|+m-2\right)$ có số điểm cực đại bằng $1$?

Xét các số phức $z,w$ thay đổi và thỏa mãn $|z+w|=2$, $|2z+iw|=3$. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|2z+(1+3i)w|$ có dạng $a+b\sqrt{2}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Giá trị của tổng $a+b$ thuộc khoảng nào dưới đây?