Nghiệm của phương trình $3^x=7$ là:

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$ là:

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mệnh đề nào sau đây sai?


Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=x^3-x$, $y=3x$ và hai đường thẳng $x=1,x=3$. Diện tích miền phẳng $(H)$ được tính bằng công thức

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho là


Cấp số nhân $(a_n)$ có $a_1=5$ và $a_2=10$. Số hạng $a_6$ của cấp số nhân là:

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_4(x-1)<3$ là:

Một công ty A sở hữu một khu khai thác dầu, bắt đầu khai thác dầu tại thời điểm $t=0$. Dựa trên ước tính của trữ lượng dầu, giả sử tốc độ khai thác dự kiến được đưa ra bởi $Q^{\prime }(t)=3t^2(40-t{)}^2$, với $0\le t\le 40$, $Q$ được đo bằng hàng triệu thùng, $t$ được tính theo năm.

Cho hàm số $y=f(x)=\ln x-\frac{9}{2}{x}^2$.

Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 82%. Trước khi xuất ra thị trường, mỗi bóng đèn được sản xuất ra đều phải qua một khâu kiểm tra chất lượng tự động. Vì sự kiểm tra này không chính xác tuyệt đối nên một bóng đèn tốt chỉ có xác suất 92% được công nhận, và một bóng đèn hỏng có xác suất 96% được loại bỏ. Gọi $A$ là biến cố “bóng được công nhận đạt tiêu chuẩn sau khi qua kiểm tra chất lượng”. Gọi $B$ là biến cố “Sản phẩm đạt tiêu chuẩn”.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có véc-tơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ với tốc độ là $4,5\text{ m/s}$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau $t\text{ (s)}$ kể từ lúc xuất phát ($t\ge 0$), cabin đến điểm $M$. Điểm $B$ có hoành độ $x_B=550$.


Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $\sqrt{10}$, $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SC$ và mặt đáy bằng $45^{\circ }$. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$.

Giám đốc của show diễn ca nhạc “ATVNCG” đang xác định mức vé vào cửa cho đêm biểu diễn dự kiến vào tháng 12/2024 tại Hà Nội. Theo kinh nghiệm nhiều năm tổ chức show diễn của mình, giám đốc đã xác định được rằng: Nếu giá vé vào cửa là 85 USD/vé thì trung bình có 15 000 khán giả đến xem. Mỗi lần tăng giá vé thêm 10 USD/vé thì số khán giả đến xem sẽ giảm đi 1 000 người. Mỗi lần giảm giá vé đi 10 USD/vé thì số khán giả đến xem sẽ tăng lên 1 000 người. Biết rằng, trung bình mỗi khán giả đến xem còn giúp show diễn có thêm 5 USD từ các dịch vụ đi kèm và mỗi khá giả vào xem phải có 1 vé vào cửa. Hỏi giám đốc chọn giá vé vào cửa cho show diễn này là bao nhiêu USD/vé để tổng số tiền thu được sau đêm diễn (gồm tổng tiền bán vé và tiền thu từ các dịch vụ đi kèm) là lớn nhất?

Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D như hình vẽ bên. Cho biết phương trình bề mặt của lều là $(S):(x-5{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=36$, phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là $(P):x=2$ và phương trình mặt phẳng chứa sàn lều là $(Q):z=0$. Gọi $r_1$ là bán kính của đường tròn cửa lều và $r_2$ là bán kính của đường tròn sàn lều. Tính giá trị biểu thức $r_1^2+r_2^2$ (kết quả được ghi dưới dạng số nguyên).


Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen; hộp II có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp II. Giả sử hai viên bi được lấy ra cùng màu trắng. Tính xác suất trong hai bi màu trắng đó có bi thuộc hộp I (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trên đường Bình đi từ nhà $(O)$ đến trường học $(Q)$ có điểm $K$ đang bị ngập nên không thể đi qua $K$. Biết rằng Bình chỉ được đi sang phải hoặc đi lên. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ $O$ đến $Q$ mà không đi qua điểm $K$?


Anh Thái và bác Nguyên có hai mảnh vườn có diện tích $S_1,S_2$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ như hình vẽ bên. Đơn vị của mỗi trục toạ độ là $5\text{ m}$ và nằm cạnh bên một con suối nhỏ được tạo bởi hai hàm số $y=f(x)$ và $y=f(x)+2$, biết rằng $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+4$ có $S_1-S_2=\frac{64(\sqrt{2}-1)}{15}$. Từ năm 2025 hai nhà kết thông gia nên anh Thái muốn xây một cây cầu bắc từ nhà mình sang nhà bác Nguyên cho tiện đi lại. Tính độ dài ngắn nhất của cây cầu trên theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng phần trăm).