Cho dãy số thực dương $(a_n)$ thỏa mãn điều kiện $a_n\left(a_{n+1}^2-1\right)=a_{n+1}\left(a_n^2+1\right),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Chứng minh $\lim a_n=+\infty$.
b) Tính $\lim \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right)$.

Xét hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau với mọi số nguyên dương $m,n,a$:
(i) $f\left(f(m)f(n)\right)=mn$ ;
(ii) $f(2027a+1)=2027a+1$.
a) Tính $f(1)$.
b) Tìm tất cả hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
(Cho biết 2027 là một số nguyên tố)

Xét phương trình
$$\phi \left(\phi (n)+k\right)=n-k\text{ với }n,k\text{ nguyeˆn dương.}$$
a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương $k$ cố định, chỉ có hữu hạn số $n$ là hợp số thỏa mãn phương trình.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình có vô số nghiệm nguyên dương $n$.
(Với $m$ nguyên dương, ký hiệu $\phi (m)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$)

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Dựng hai đường kính $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ của đường tròn $(O)$ và điểm $D$ sao cho $A^{\prime }C{B}^{\prime }D$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $E$ là giao điểm của $BD$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CD$ và $AB$. Gọi $H_1,H_2$ lần lượt là trực tâm của hai tam giác $BEC$ và $BFC$.
a) Chứng minh hai tam giác $ABC$ và $M{H}_1{H}_2$ có cùng trực tâm.
b) Đường thẳng $BC$ cắt hai đường thẳng $A^{\prime }D$, $H_1{H}_2$ lần lượt tại $K,T$. Gọi $S,G,I$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $(M{H}_2,K{H}_1)$, $(K{H}_2,M{H}_1)$ và $(SG,H_1{H}_2)$. Gọi $X$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên $ST$. Chứng minh bốn điểm $S,X,I$ và trung điểm của đoạn thẳng $H_1{H}_2$ cùng nằm trên một đường tròn.

Cho đường tròn $(O)$ cố định và điểm $I$ cố định nằm trong đường tròn đó ($I$ khác $O$). Một đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $I$ nhưng không qua $O$ và cắt $(O)$ tại $A$, $B$ sao cho $I$ không trùng với trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AB$. Các tiếp tuyến tại $O$ của đường tròn $(OAH)$ và đường tròn $(OBH)$ cắt đường trung trực của đoạn thẳng $OI$ lần lượt tại $O_1$ và $O_2$. Đường tròn $(O_1;O_{1}O)$ cắt đường tròn $(OAH)$ tại $C$ (khác $O$) và đường tròn $(O_2;O_{2}O)$ cắt đường tròn $(OBH)$ tại $D$ (khác $O$). Chứng minh đường tròn $(OCD)$ đi qua một điểm cố định khác $O$ khi $d$ thay đổi nhưng luôn đi qua $I$.