Cho hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f(1)=2$ và
$$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1\text{ với mọi }x,y\in \mathbb{Q}.$$
a) Chứng minh $f(n)=n+1$ với mọi $n\in \mathbb{N}$.
b) Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn.

Dãy số nguyên hữu hạn $a_1,a_2,\dots ,a_n$ được gọi là "đẹp" nếu $a_1<a_2<\cdots <a_n$ $(n\ge 2)$ và tồn tại hai đa thức $P(x)$, $Q(x)$ với hệ số nguyên có bậc dương sao cho:
$$(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)+1=P(x)Q(x).$$
a) Chứng minh $P(x)=Q(x)$.
b) Tìm tất cả các dãy số nguyên "đẹp".

a) Giả sử $p$, $r$ là hai số nguyên tố phân biệt lớn hơn hơn 3. Chứng tỏ rằng mọi ước nguyên tố lớn hơn 3 của hai số $2^p+1$ và $2^r+1$ đều khác nhau từng đôi một.
b) Với $p>3$ là một số nguyên tố, chứng minh $2^p+1$ có ít nhất một ước số nguyên tố $q$ thỏa mãn $q>p+5$.
c) Với $k>1$ là số nguyên dương bất kì, kí hiệu $S(k)$ là tổng các ước nguyên tố của $k$. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ $(n>1)$ sao cho $S(2^n+1)=S(n)$.

Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ nhọn, $AB<AC$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $D$ là điểm trên tia đối của tia $BC$, đường thẳng qua $C$ và song song với $AB$ cắt đường thẳng $AD$ tại $E$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $AC$ và $BE$.
a) Chứng minh đường thẳng $ID$ đi qua trung điểm $CE$.
b) $K$ là điểm trên đường thẳng $CE$ sao cho $AK=BK$. Chứng minh $OK$ là phân giác của góc $IKD$.
c) Gọi $M$ là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $DM=DC$ $(M\ne C)$, $N$ là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$ sao cho $DN=DE$ $(N\ne E)$ và $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $AM$ và $BN$. Chứng minh $\widehat{MDC}=2\widehat{MPI}$.

Có 49 quả bóng với 7 màu khác nhau, mỗi màu có đúng 7 quả bóng. Ta xếp ngẫu nhiên tất cả 49 quả bóng thành một hàng ngang. Trong hàng ngang đó, một quả bóng $F$ được gọi là "tốt" nếu ở mỗi bên của $F$ tổng số các quả bóng khác màu với $F$ đều là số lẻ.
a) Tìm một cách xếp có đúng 3 quả bóng "tốt".
b) Tìm số lượng quả bóng "tốt" nhỏ nhất có thể.
c) Nếu bổ sung thêm điều kiện là mỗi quả bóng phải cùng màu với ít nhất một quả bóng kề nó, thì số lượng quả bóng "tốt" nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?