Cho hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f(1)=2$ và
$$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1\text{ với mọi }x,y\in \mathbb{Q}.$$
a) Chứng minh $f(n)=n+1$ với mọi $n\in \mathbb{N}$.
b) Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn.

a) Thay $y=1$ vào phương trình đã cho, ta được $f(x)=2f(x)-f(x+1)+1$. Từ đây suy ra được $f(x+1)=f(x)+1$ với mọi $x\in \mathbb{Q}$. Lấy $x=0$ ta có $f(0)=f(1)-1=1$. Với $n\ge 1$, từ $f(1)=2$ và hệ thức trên, bằng quy nạp ta có $f(n)=n+1$, kết hợp $f(0)=1$ suy ra điều phải chứng minh.
b) Lặp lại hệ thức $f(x+1)=f(x)+1$, ta có $f(x+m)=f(x)+m$ với mọi $x\in \mathbb{Q}$ và $m\in \mathbb{N}$. Với $m$ là số nguyên dương thì $f(0)=f(-m)+m$, nên $f(-m)=1-m$. Lúc này sử dụng ý a) để suy ra $f(a)=a+1$ với mọi $a\in \mathbb{Z}$. Xét số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ bất kì, trong đó $a\in \mathbb{Z}$ và $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Thay $x=\frac{a}{b}$, $y=b$ vào phương trình đã cho, ta được
$$f(a)=f\left(\frac{a}{b}\right)f(b)-f\left(\frac{a}{b}+b\right)+1$$
Do $f(a)=a+1$, $f(b)=b+1$ và $f\left(\frac{a}{b}+b\right)=f\left(\frac{a}{b}\right)+b$, đẳng thức trên trở thành
$$a+1=bf\left(\frac{a}{b}\right)-b+1$$
Suy ra $f\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{a}{b}+1$ hay $f(q)=q+1$ với mọi $q\in \mathbb{Q}$. Thử lại thấy thỏa mãn, do đó $f(x)=x+1$, $\forall x\in \mathbb{Q}$ là nghiệm hàm duy nhất thỏa mãn.