Dãy số nguyên hữu hạn $a_1,a_2,\dots ,a_n$ được gọi là "đẹp" nếu $a_1<a_2<\cdots <a_n$ $(n\ge 2)$ và tồn tại hai đa thức $P(x)$, $Q(x)$ với hệ số nguyên có bậc dương sao cho:
$$(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)+1=P(x)Q(x).$$
a) Chứng minh $P(x)=Q(x)$.
b) Tìm tất cả các dãy số nguyên "đẹp".

a) Thay $x=a_i$ vào đẳng thức đã cho, ta được $P(a_i)Q(a_i)=1$ với mọi $i=1,2,\dots ,n$. Vì $P(a_i),Q(a_i)$ là các số nguyên nên $P(a_i)=Q(a_i)=\pm 1$. Do đó, đa thức $P(x)-Q(x)$ có $n$ nghiệm phân biệt $a_1,a_2,\dots ,a_n$. Mặt khác, $\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q=n$ và hai đa thức đều có bậc dương, nên $\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q\le n-1$. Suy ra $P(x)-Q(x)$ là đa thức không, tức là $P(x)=Q(x)$.
b) Theo ý trên, ta có $(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)+1=P(x{)}^2$ nên $n$ là số chẵn.
Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1=0$ (nếu không ta có thể tính tiên các giá trị). Khi đó $0=a_1<a_2<\cdots <a_n$ và $a_i\ge i-1$ với mọi $i=2,\dots ,n$.
Đặt $F(x)=x(x-a_2)\cdots (x-a_n)+1$. Vì $F(x)$ là bình phương của một đa thức và $n$ chẵn, ta có
$$0\le F\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{(2a_2-1)(2a_3-1)\cdots (2a_n-1)}{2^n}\le 1-\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-3)}{2^n}$$
Nếu $n\ge 6$ thì $\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-3)}{2^n}\ge \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2^6}=\frac{945}{64}>1$, khi đó $F\left(\frac{1}{2}\right)<0$, mâu thuẫn. Vậy ta suy ra được $n=2$ hoặc $n=4$.
Trường hợp 1: Nếu $n=2$ thì $0\le F\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{2a_2-1}{4}$, suy ra $a_2\le \frac{5}{2}$ nên $a_2=1$ hoặc $a_2=2$.
- Với $a_2=1$, đa thức $F(x)=x^2-x+1$ không thể là bình phương của một đa thức bậc nhất.
- Với $a_2=2$, ta có $F(x)=x(x-2)+1=(x-1{)}^2$. Do đó, dãy $(0,2)$ là đẹp.
Trường hợp 2: Nếu $n=4$ thì $0\le F\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{(2a_2-1)(2a_3-1)(2a_4-1)}{16}$. Suy ra
$$(2a_2-1)(2a_3-1)(2a_4-1)\le 16$$
Vì $a_2\ge 1$ và $a_3\ge 2$, ta được $3(2a_4-1)\le 16$, tức là $a_4\le \frac{19}{6}$. Kết hợp với $a_4\ge 3$ và $a_4$ nguyên, suy ra $a_4=3$. Vì $0<a_2<a_3<3$ nên $a_2=1$, $a_3=2$.
Khi đó $F(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)+1=(x^2-3x+1{)}^2$, nên dãy $(0,1,2,3)$ là đẹp.
Tổng quát ta có tất cả dãy đẹp là $(\mathbf{a},\mathbf{a}+2)$ và $(\mathbf{a},\mathbf{a}+1,\mathbf{a}+2,\mathbf{a}+3)$ với $a\in \mathbb{Z}$ do
$$(x-a)(x-a-2)+1=(x-a-1{)}^2$$
$$(x-a)(x-a-1)(x-a-2)(x-a-3)+1={\left((x-a-1)(x-a-2)-1\right)}^2$$