Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{9}{8}\\ 3(n+3{)}^2{x}_n=3n^2{x}_{n+1}-(2n+3)x_{n+1}{x}_n,\forall n\ge 1\end{array}$$
Tìm $\lim x_n$.

Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ (với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) có hệ số cao nhất bằng 1 và có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $a$ mà $$P(4a^2+4a+2026)=0$$
Chứng minh đa thức $P(4x^2+4x+2026)$ chia hết cho đa thức $(2x+1{)}^2$ và $P(2026)\ge 1$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c,p$ sao cho $p$ và $p+2$ đều là các số nguyên tố lẻ thỏa mãn: $$2^a{p}^b=(p+2{)}^c-1.$$

Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ nhọn và nội tiếp đường tròn $(O)$ có tâm $O$, bán kính $R$. Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại trung điểm $M$ của $BC$ cắt các đường thẳng $AB$, $AC$ lần lượt tại $Y$ và $X$.

a) Gọi $I$, $r^{\prime }$ lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đường kính $XY$. Chứng minh rằng $O{I}^2=R^2+r^{\prime 2}$.

b) Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $OM$ tại $P$. Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $AO$ cắt đường thẳng qua $P$ song song với $BC$ tại $Z$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $H,M,Z$ thẳng hàng.