Cho dãy số $(x_n)$, với $x_1=a>1$ và $x_{n+1}=x_n-\ln x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Chứng minh dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b) Đặt $S_n={\sum }_{k=1}^{n-1}(n-k)\ln \sqrt{x_k},\forall n=2,3,\dots$ Tính ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{S_n}{n}$.

(Lim Olympic - Hà Tĩnh TST - P2) Xét đa thức $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ với các hệ số nguyên, $n$ là số nguyên dương thay đổi thỏa mãn $n\ge 4$, $a_n\ne 0$. Biết rằng đa thức $P(x)$ chia hết cho đa thức $x^2-2x-1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\max \left\{|a_0|,|a_1|,\dots ,|a_{n-1}|\right\}$.

Cho đường tròn $(O)$ và $BC$ là một dây cung không đi qua tâm. Điểm $M$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $MBC$ nhọn. Tiếp tuyến tại $M$ và $B$ của $(O)$ cắt nhau ở $D$. Đường thẳng $CD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Lấy điểm $F$ thuộc đoạn thẳng $CE$ sao cho $\widehat{CMF}=\widehat{BCD}$. Gọi $I$ là giao điểm thứ hai của $MF$ và đường tròn $(BCF)$, $J$ là giao điểm thứ hai của $BF$ và đường tròn $(MCF)$.

a) Chứng minh $I,J,O,F$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBD$. Chứng minh $IJ\perp CP$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}$ là một số nguyên.