Cho dãy số $(x_n)$, với $x_1=a>1$ và $x_{n+1}=x_n-\ln x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Chứng minh dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b) Đặt $S_n={\sum }_{k=1}^{n-1}(n-k)\ln \sqrt{x_k},\forall n=2,3,\dots$ Tính ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{S_n}{n}$.

a) Với $x>1$, ta có $0<\ln x<x-1$. Bởi vậy, nếu $x_n>1$ thì $1<x_{n+1}<x_n$.
Theo quy nạp, $(x_n)$ giảm và bị chặn dưới bởi 1, nên tồn tại $L=\lim x_n\ge 1$.
Cho $n\to \infty$ trong hệ thức truy hồi, ta được $L=L-\ln L$, do đó $L=1$.
b) Từ hệ thức truy hồi, $\ln \sqrt{x_k}=\frac{1}{2}(x_k-x_{k+1})$. Vì thế
$$S_n=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n-1}(n-k)(x_k-x_{k+1})=\frac{1}{2}\left((n-1)a-\sum _{k=2}^n{x}_k\right).$$
Do $x_k\to 1$, định lý trung bình Cesàro cho $\frac{1}{n}{\sum }_{k=2}^n{x}_k\to 1$. Suy ra ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{n}=\frac{a-1}{2}$.