(0,5 điểm) Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$, nếu diện tích tam giác được tính bằng biểu thức: $S=\frac{2}{3}{R}^2\left({\sin }^{3}A+{\sin }^{3}B+{\sin }^{3}C\right)$ thì tam giác $ABC$ là tam giác đều.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức diện tích tam giác: $S=\frac{abc}{4R}=2R^2\sin A\sin B\sin C$ (vì $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$).

Theo giả thiết: $2R^2\sin A\sin B\sin C=\frac{2}{3}{R}^2\left({\sin }^{3}A+{\sin }^{3}B+{\sin }^{3}C\right)$.

Chia hai vế cho $\frac{2}{3}{R}^2>0$ ta được:
$${\sin }^{3}A+{\sin }^{3}B+{\sin }^{3}C=3\sin A\sin B\sin C.$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ${\sin }^{3}A,{\sin }^{3}B,{\sin }^{3}C$ (do $0<A,B,C<\pi$ nên $\sin A,\sin B,\sin C>0$):
$${\sin }^{3}A+{\sin }^{3}B+{\sin }^{3}C\ge 3\sqrt[3]{{\sin }^{3}A{\sin }^{3}B{\sin }^{3}C}=3\sin A\sin B\sin C,$$
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${\sin }^{3}A={\sin }^{3}B={\sin }^{3}C$, tức $\sin A=\sin B=\sin C$.

Vì đẳng thức trên đúng (theo giả thiết), dấu bằng phải xảy ra. Với $0<A,B,C<\pi$ và $A+B+C=\pi$: từ $\sin A=\sin B$ suy ra $A=B$ hoặc $A=\pi -B$; nếu $A=\pi -B$ thì $C=0$, vô lý. Tương tự $B=C$. Vậy $A=B=C=60^{\circ }$, tức tam giác $ABC$ là tam giác đều. Đpcm.