(1,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $9cm$. Gọi $D$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DC}=\vec{0}$. a) Biểu diễn vecto $\overrightarrow{BD}$ theo hai vecto $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$. b) Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn: $M{A}^2+2M{C}^2=129$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DC}=\vec{0}$, vì $D$ nằm trên đoạn $AC$ nên $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$, suy ra $AD=2DC$ và $AD+DC=AC=9cm$, do đó $DC=3cm$, $AD=6cm$.

a) Vì $D$ nằm giữa $A$ và $C$ với $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$, theo công thức trung điểm khối (trọng tâm của hệ điểm với trọng số), ta có:
$$\overrightarrow{BD}=\frac{1\cdot \overrightarrow{BA}+2\cdot \overrightarrow{BC}}{1+2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$$

b) Với mọi điểm $M$, đặt $\overrightarrow{MD}$ làm vecto gốc. Ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}$. Khi đó:
$$M{A}^2+2M{C}^2={\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}\right|}^2+2{\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}\right|}^2$$
$$=3M{D}^2+2\overrightarrow{MD}\cdot \left(\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DC}\right)+D{A}^2+2D{C}^2.$$
Vì $\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ nên số hạng tích vô hướng triệt tiêu, còn $D{A}^2+2D{C}^2=6^2+2\cdot 3^2=36+18=54$. Do đó:
$$M{A}^2+2M{C}^2=3M{D}^2+54.$$
Điều kiện $M{A}^2+2M{C}^2=129$ trở thành $3M{D}^2+54=129\Rightarrow M{D}^2=25\Rightarrow MD=5cm$.

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $D$ bán kính $5cm$.