(1 điểm) Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$; $N$, $P$ lần lượt là điểm thuộc cạnh $AC$, $BD$ sao cho $AN=2NC$, $BD=3PD$.
a) Tìm giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$.
b) Gọi $Q$ là giao điểm của $CD$ với $(MNP)$. Tính tỉ số $\frac{QC}{QD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là giao điểm của $MP$ với $AD$ (cùng thuộc mặt phẳng $(ABD)$). Vì $M$ là trung điểm $AB$ và $P$ thuộc $BD$ với $PD=\frac{1}{3}BD$ (tức $BP=\frac{2}{3}BD$), trong $(ABD)$ đường thẳng $MP$ cắt đường thẳng $AD$ tại $K$ sao cho $AK=2AD$ ($K$ nằm ngoài đoạn $AD$, phía $D$). Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=0$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$ thì $M=\frac{\vec{b}}{2}$, $P=\frac{\vec{b}+2\vec{d}}{3}$; phương trình $M+t(P-M)=s\vec{d}$ cho $t=3$, $s=2$, tức $K=2\vec{d}$ nên $AK=2AD$.

a) Vì $M,P\in (MNP)$ nên $K\in (MNP)$; cũng $K\in (ACD)$. Trong mặt phẳng $(ACD)$, $N\in AC$ với $AN=\frac{2}{3}AC$ và $K\in$ đường thẳng $AD$ với $AK=2AD$, nên đường thẳng $NK$ cắt đường thẳng $CD$ tại $L$. Tọa độ: $N=\frac{2}{3}\vec{c}$, $K=2\vec{d}$; điểm trên $NK$: $\frac{2}{3}(1-u)\vec{c}+2u\vec{d}$. Điều kiện thuộc $CD$: $2u=1-\frac{2}{3}(1-u)$ cho $u=\frac{1}{4}$, suy ra $L=\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}$, tức $L$ là trung điểm của $CD$. Vì $N,K\in (MNP)$ nên $L\in (MNP)$; mà $L\in (BCD)$, $P\in (BCD)\cap (MNP)$, vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $PL$.

b) $Q$ là giao điểm của $CD$ với $(MNP)$ chính là $L$. Vì $L$ là trung điểm $CD$ nên $\frac{QC}{QD}=\frac{LC}{LD}=1$.