(1 điểm) Để tránh một cái hồ lớn, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong hình vẽ.



a) Nếu bắc một chiếc cầu dàn sinh thẳng từ $B$ đến $D$ thì độ dài chiếc cầu bằng bao nhiêu kilomet?
b) Nếu bắc một chiếc cầu lớn thẳng từ $B$ đến $E$ thì độ dài cầu ngắn hơn đường cũ bao nhiêu kilomet?

a) Áp dụng định lí cosin trong $\Delta BCD$:
$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2BC.CD.\cos \widehat{BCD}\Rightarrow BD\approx 16,2$ km
(Viết đúng công thức của định lí cosin: cho 0,25 điểm)

b) Cách 1: Áp dụng định lí sin trong $\Delta BCD$:
$\frac{BC}{\sin \widehat{BDC}}=\frac{BD}{\sin 101^{\circ }}\Rightarrow \sin \widehat{BDC}=\frac{BC.\sin 101^{\circ }}{BD}\approx 0,67$
$\Rightarrow \widehat{BDC}\approx 42^{\circ }\Rightarrow \widehat{BDE}\approx 98^{\circ }$
Áp dụng định lí cosin trong $\Delta BDE$: $B{E}^2=B{D}^2+D{E}^2-2BD.DE.\cos \widehat{BDE}\approx 19$ km
Vậy độ dài chiếc cầu ngắn hơn đường cũ gần 10km

Cách 2: Gọi $M=BC\cap DE$
Ta có: $\angle MCD=79^{\circ };\angle MDC=40^{\circ };\angle CMD=61^{\circ }$
Xét tam giác $CDM$, ta có:
$$\frac{CD}{\sin 61^0}=\frac{CM}{\sin 40^0}\Rightarrow CM=\frac{10\sin 40^0}{\sin 61^0}\Rightarrow MB=11+\frac{10.\sin 40^0}{\sin 61^0}$$
$$\frac{CD}{\sin 61^0}=\frac{MD}{\sin 79^0}\Rightarrow MD=\frac{10.\sin 79^0}{\sin 61^0}\Rightarrow ME=8+\frac{10\sin 79^0}{\sin 61^0}$$
Xét tam giác $MBE$, ta có: $BE=\sqrt{M{B}^2+M{E}^2-2MB.ME.\cos 61^0}\approx 19(km)$
Vậy độ dài chiếc cầu ngắn hơn đường cũ gần 10km