(1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(-1;5),B(2;3)$ và trọng tâm $G\left(\frac{1}{3};2\right)$.

a) Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống BC.

b) Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất.

a) Tìm được C(0; -2 )

Gọi H(x;y) ta có $\overrightarrow{AH}=(x+1;y-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;-5)$

Vì $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ nên 2x + 5y = 23 (1 )

Lại có : $\overrightarrow{BH}=(x-2;y-3)$

Vì $\overrightarrow{AH}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ nên 5x – 2y = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta được $\{\begin{array}{l}x=\frac{66}{29}\\ y=\frac{107}{29}\end{array}\to H\left(\frac{66}{29};\frac{107}{29}\right)$

b) Lấy $A^{\prime }$ đối xứng A qua Ox , suy ra $A^{\prime }(-1;-5)$

Ta có: $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$

Đẳng thức xảy ra khi $M=A^{\prime }B\cap Ox$

Đường thẳng $A^{\prime }B$ có phương trình: 8x - 3y -7 = 0

Giải hệ $\{\begin{array}{l}8x-3y-7=0\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{7}{8}\\ y=0\end{array}\to M\left(\frac{7}{8};0\right)$