1) Tìm số điểm cực trị của hàm số: $y=\left|x^2-2x-3\right|+2x$.
2) Một người gửi vào ngân hàng tháng đầu tiên 10 triệu đồng với kì hạn một tháng và lãi suất 4,5\%/tháng (theo hình thức lãi kép). Cứ sau mỗi kì hạn người đó tiếp tục gửi vào ngân hàng nhiều hơn số tiền gửi của kì hạn trước 1 triệu đồng. Hỏi cuối kì hạn thứ 12 (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, người đó không rút tiền trong suốt quá trình gửi)?

(AI giải đề cho tôi)
**Câu I.1)** Xét $y=|x^2-2x-3|+2x$, với $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$.

- Với $x<-1$ hoặc $x>3$: $y=x^2-2x-3+2x=x^2-3$, có $y^{\prime }=2x=0\Rightarrow x=0$ (không thuộc miền này, loại). Trên hai miền này hàm đồng biến nên không có cực trị.
- Với $-1\le x\le 3$: $y=-x^2+2x+3+2x=-x^2+4x+3$, có $y^{\prime }=-2x+4=0\Rightarrow x=2$, $y(2)=7$. Vì $y^{\prime \prime }=-2<0$ nên $x=2$ là điểm cực đại.

Tại các điểm gãy:
- Tại $x=-1$: đạo hàm trái $y^{\prime }=2x=-2<0$, đạo hàm phải $y^{\prime }=-2x+4=6>0$ → hàm đổi chiều biến thiên từ giảm sang tăng → $x=-1$ là điểm cực tiểu ($y=-2$).
- Tại $x=3$: đạo hàm trái $y^{\prime }=-2x+4=-2<0$, đạo hàm phải $y^{\prime }=2x=6>0$ → $x=3$ là điểm cực tiểu ($y=6$).

Vậy hàm số có **3 điểm cực trị**: cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=2$, cực tiểu tại $x=3$.

**Câu I.2)** Gọi số tiền gửi kì hạn thứ $k$ là $a_k=9+k$ (triệu đồng), $k=1,\dots ,12$ (tức $10,11,\dots ,21$). Lãi suất $4,5\%$/tháng theo lãi kép, hệ số nhân $r=1,045$.

Khoản gửi ở kì hạn thứ $k$ sinh lãi trong $(13-k)$ tháng, nên cuối kì hạn thứ 12 tổng số tiền nhận được:
$$S=\sum _{k=1}^{12}(9+k)\cdot 1,045^{13-k}=\sum _{j=1}^{12}(22-j)\cdot 1,045^j=22\sum _{j=1}^{12}{r}^j-\sum _{j=1}^{12}j{r}^j.$$

Tính với $r=1,045$: $r^{12}\approx 1,695881$, $r^{13}\approx 1,772196$.

- ${\sum }_{j=1}^{12}{r}^j=\frac{r(r^{12}-1)}{r-1}=\frac{1,045\cdot 0,695881}{0,045}\approx 16,15990$.
- ${\sum }_{j=1}^{12}j{r}^j=\frac{r\left(1-13r^{12}+12r^{13}\right)}{(1-r{)}^2}=\frac{1,045\cdot (1-22,046453+21,266352)}{0,002025}\approx \frac{1,045\cdot 0,219899}{0,002025}\approx 113,4814$.

Suy ra $S\approx 22\cdot 16,15990-113,4814\approx 355,518-113,481\approx 242,04$ triệu đồng.

Vậy cuối kì hạn thứ 12 người đó nhận được tổng cộng khoảng **242 triệu đồng** (làm tròn đến hàng đơn vị).