(1,0 điểm) Cho hàm số $y=f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$.

a) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. → Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-2-2x+1}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}$. Đề khẳng định $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x-1{)}^2}$ là sai. → Sai.

c) Vì $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. → Đúng.

d) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=2$), giao với trục tung tại $f(0)=1$, hai nhánh của đồ thị đều nghịch biến — phù hợp với hình vẽ bên (tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, đi qua điểm $(0;1)$). → Đúng.

So sánh với đáp án nguồn (Câu 4: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ) — hoàn toàn khớp.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng: $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}$, không phải $\frac{3}{(x-1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, đi qua $(0;1)$, hai nhánh nghịch biến — khớp với hình vẽ.