(1,0 điểm) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 12. Một điểm S thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A (A khác S). Gọi O và H lần lượt l

Question

(1,0 điểm) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 12. Một điểm S thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A (A khác S). Gọi O và H lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. a) Chứng minh OH vuông góc với mặt phẳng (SBC). b) Gọi là số đo góc tạo bởi đường thẳng AH và mặt phẳng (ABC). Tìm giá trị lớn nhất của .

Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: (AI giải đề cho tôi) Câu 20. Thiết lập hệ tọa độ: A(0;0;0), B(12;0;0), C(6;6 3 ;0), S(0;0;t) với t 0. Trực tâm tam giác đều ABC là trọng tâm O(6;2 3 ;0). a) Gọi H(x;y;z) là trực tâm tam giác SBC. Vì H là trực tâm nên SH BC và BH SC: - ( SH ) BC =0 -6x+6 3 y=0 x= 3 y. - ( BH ) SC =0 -6(x-12)-6 3 y+tz=0 tz=12 3 y-72. Vì H (SBC), mặt phẳng (SBC) có VTPT n =(6 3 t;\,6t;\,72 3 ), tức 3 tx+ty+12 3 z=12 3 t. Giải hệ ba điều kiện trên ta được Suy ra OH = 1 t 2+108 (3t 2;\ 3 t 2;\ 36t ). Kiểm tra: OH SB = 36t 2-36t 2 t 2+108 =0 và OH SC = 18t 2+18t 2-36t 2 t 2+108 =0. Vậy OH SB , OH SC , do đó OH (SBC). (đpcm) b) Vì SA (ABC), góc giữa AH và (ABC) thỏa dấu bằng xảy ra khi |t|= 72 =6 2 , tức SA=6 2 . Vậy = 6 12 .

Đề Thi Olympic Dành Cho Học Sinh Lớp 10, Lớp 11 2025-2026 - Môn Toán Học - Lớp 11

Các câu hỏi khác trong đề (20 câu)