1.1. Tìm $x$ thoả mãn hệ bất phương trình: $-1<{\log }_{\frac{1}{x}}0,5<-0,5$

1.2. Huyết áp của một người được mô hình hoá bởi hàm số $P(t)=100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)$ tính theo đơn vị $mmHg$ và thời gian $t$ tính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 $mmHg$?

(AI giải đề cho tôi)
**1.1.** Điều kiện: $\frac{1}{x}>0$, $\frac{1}{x}\ne 1$, tức $x>0$, $x\ne 1$.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{x}}0,5=\frac{\ln 0,5}{\ln \frac{1}{x}}=\frac{-\ln 2}{-\ln x}=\frac{\ln 2}{\ln x}$.

Bất phương trình trở thành $-1<\frac{\ln 2}{\ln x}<-0,5$. Vì $\ln 2>0$ nên vế giữa phải âm, do đó $\ln x<0$, tức $0<x<1$.

Nhân các vế với $\ln x<0$ (đổi chiều bất đẳng thức):
- $-1<\frac{\ln 2}{\ln x}\iff \ln 2<-\ln x\iff \ln x<-\ln 2\iff x<\frac{1}{2}$.
- $\frac{\ln 2}{\ln x}<-0,5\iff \ln 2>-0,5\ln x\iff \ln x>-2\ln 2=\ln \frac{1}{4}\iff x>\frac{1}{4}$.

Vậy $\frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}$.

**1.2.** Huyết áp bằng 100 mmHg khi $P(t)=100\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=0\iff \frac{7\pi }{3}t=k\pi \iff t=\frac{3k}{7}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Với $t\in [0;1]$: $0\le \frac{3k}{7}\le 1\iff 0\le k\le \frac{7}{3}$, nên $k=0,1,2$, cho $t=0$; $\frac{3}{7}$; $\frac{6}{7}$.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, huyết áp bằng 100 mmHg tại **3 thời điểm**: $t=0$ giây, $t=\frac{3}{7}$ giây và $t=\frac{6}{7}$ giây (tại $t=1$ thì $\sin \frac{7\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}\ne 0$).