(3,00 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của số $m$ để tồn tại duy nhất cặp số $(x,y)$ thỏa mãn:
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x+2y+4=0\\ {\log }_{x^2+y^2+2}\left(4x+4y-6+m^2\right)\ge 1\end{array}$$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình thứ nhất: $x^2+y^2-4x+2y+4=0\iff (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=1$: đường tròn tâm $I(2;-1)$ bán kính $1$, nên $y\in [-2;0]$ và trên đường tròn có $x^2+y^2=4x-2y-4$.

Điều kiện logarit: cơ số $x^2+y^2+2\ge (\sqrt{5}-1{)}^2+2=8-2\sqrt{5}>1$, nên bất đẳng thức ${\log }_{x^2+y^2+2}(4x+4y-6+m^2)\ge 1$ tương đương với
$$4x+4y-6+m^2\ge x^2+y^2+2.$$
Thay $x^2+y^2=4x-2y-4$ vào vế phải, bất đẳng thức trở thành
$$4x+4y-6+m^2\ge 4x-2y-2\iff m^2\ge 4-6y\iff y\ge \frac{4-m^2}{6}.$$(Khi đó dấu bằng cho thấy argument $\ge x^2+y^2+2>0$, nên điều kiện xác định logarit tự thỏa mãn.)

Vậy số cặp $(x,y)$ thỏa mãn bằng số điểm trên đường tròn có tung độ $y\ge t$ với $t=\frac{4-m^2}{6}$. Vì tập này là một cung tròn (vô số điểm) trừ khi nó rỗng hoặc gồm đúng một điểm:
- Nếu $t\le -2$ (tức $m^2\le -8$: vô nghiệm) hoặc $t>0$ ($m^2<4$... thực tế $t>0\iff m^2>4$): xét kỹ — nếu $t>0$ thì không có điểm nào; nếu $-2<t<0$ (tức $-8<m^2<4$, cụ thể $0\le m^2<4$) thì có vô số điểm; nếu $t\le -2$ thì cũng vô số điểm (toàn bộ đường tròn) — trường hợp này không xảy ra vì $m^2\ge 0$.
- Duy nhất một điểm khi và chỉ khi $t=0$, tức $m^2=4$, khi đó chỉ có điểm $y=0$, suy ra $(x-2{)}^2=0$, tức $(x,y)=(2;0)$.

Kiểm tra: tại $(2;0)$, cơ số $=4+0+2=6>1$, argument $=8+0-6+4=6>0$, ${\log }_{6}6=1\ge 1$ ✓.

Vậy $m=\pm 2$, tức $m\in \{-2;2\}$.