(5,00 điểm)
Cho dãy số nguyên dương $(u_n)$ không là dãy hằng và thỏa mãn $(u_m-u_n)$ chia hết cho $(m-n)$, với mọi số nguyên dương $m,n$ phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố xuất hiện trong các phân tích thừa số nguyên tố của các số hạng của dãy số $(u_n)$ là vô hạn.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử phản chứng: chỉ có hữu hạn số nguyên tố p_1,...,p_k xuất hiện trong các phân tích thừa số nguyên tố của các u_n. Chọn các số mũ a_i sao cho a_i > v_{p_i}(u_1) và p_i^{a_i} > u_1 với mọi i, đặt P = p_1^{a_1}...p_k^{a_k}. Vì dãy không hằng, tồn tại m với g = u_m − u_1 ≠ 0. Với mọi n ≡ 1 (mod P), n > m + |g|, ta có: (1) u_n ≡ u_1 (mod n−1) nên u_n ≡ u_1 (mod p_i^{a_i}) với mọi i; vì các thừa số nguyên tố của u_n đều thuộc {p_1,...,p_k}, so sánh số mũ suy ra u_n = u_1. (2) Mặt khác u_n ≡ u_m (mod n−m) nên n−m | u_1 − u_m = −g, tức |n−m| ≤ |g|, mâu thuẫn với n > m + |g|. Vậy tập các số nguyên tố xuất hiện là vô hạn.